CM2 · Mathématiques
Problèmes à plusieurs étapes au CM2 : dix-huit exercices corrigés
Dans un problème à plusieurs étapes, une première quantité peut être nécessaire pour répondre à la question finale. Ce guide propose quatre exemples expliqués et dix-huit problèmes originaux sur des nombres entiers. Les situations utilisent trois structures : calculer un stock puis retirer une quantité, suivre des entrées et sorties, réunir des collections puis les partager.
Dans ce guide : leçon, exemples, exercices et corrigés
Comprendre la question avant de choisir les opérations
Repère ce qui est demandé : une quantité restante, un nombre de personnes à la fin ou une quantité par groupe. Cherche ensuite les informations utiles et la quantité intermédiaire qui manque. Un mot isolé ne suffit pas à choisir une opération : il faut regarder le rôle de chaque nombre dans la situation. Si la formulation comporte plusieurs actions, le guide pour comprendre une consigne scolaire aide à distinguer les demandes avant de répondre.
Tu peux dessiner les collections, écrire une phrase ou un calcul intermédiaire. Nomme ce que représente le résultat avant de l’utiliser dans l’étape suivante. Pour une autre méthode correcte, vérifie qu’elle conserve les mêmes quantités et répond à la question finale.
Quatre exemples expliqués
Exemple 1
Une réserve contient 4 boîtes de 12 crayons. On distribue 17 crayons. Combien de crayons restent dans la réserve ?
Étape 1 — crayons au départ : 4 × 12 = 48.
Étape 2 : 48 − 17 = 31 crayons.
Chaque boîte contient 12 crayons, donc 4 boîtes donnent 48 crayons. Les 17 crayons distribués sont retirés de ce stock : 31 crayons restent.
Exemple 2
Une salle accueille 36 personnes. Puis 18 personnes entrent et 11 personnes sortent. Combien de personnes sont dans la salle à la fin ?
Étape 1 — personnes après les entrées : 36 + 18 = 54.
Étape 2 : 54 − 11 = 43 personnes.
Les 18 entrées s’ajoutent aux 36 personnes initiales : 54 personnes. Les 11 sorties donnent 43 personnes à la fin.
Exemple 3
On réunit 18 cartes bleues et 12 cartes vertes. On partage toutes les cartes également entre 5 groupes. Combien de cartes reçoit chaque groupe ?
Étape 1 — cartes à partager : 18 + 12 = 30.
Étape 2 : 30 ÷ 5 = 6 cartes par groupe.
On partage les deux couleurs ensemble : 18 + 12 = 30 cartes. Les 30 cartes réparties en 5 groupes donnent 6 cartes par groupe.
Exemple 4
Une réserve contient 4 boîtes de 12 crayons. On distribue 17 crayons. Une réponse propose 12 − 17 et conclut qu’il manque 5 crayons. Explique ce qui manque dans cette démarche et corrige-la.
Le calcul 12 − 17 = −5 est correct, mais 12 désigne une seule boîte. Il faut partir du stock des quatre boîtes. L’erreur vient de la quantité choisie.
Étape 1 — crayons dans les 4 boîtes : 4 × 12 = 48.
Étape 2 : 48 − 17 = 31 crayons.
Le stock initial est de 48 crayons, et non de 12. Après distribution de 17 crayons, il reste 31 crayons. Vérification : 31 + 17 = 48.
Représenter la dépendance entre les étapes
Pour les crayons : boîtes et crayons par boîte → stock initial en crayons → retrait des crayons distribués → crayons restants. Pour la salle : personnes au départ et entrées → personnes présentes avant les sorties → personnes à la fin. Pour les cartes : deux collections → total des cartes → partage entre les groupes → cartes par groupe.
Ces schémas écrits décrivent les trois situations. Ils ne donnent pas une recette pour tous les problèmes. Une quantité intermédiaire n’est pas nécessairement la réponse finale.
Dix-huit problèmes — avant les corrigés
Pour chaque problème, indique la quantité intermédiaire, les calculs et une phrase répondant à la question avec son unité. Choisis une série adaptée au travail déjà rencontré en classe.
- Une réserve contient 4 boîtes de 12 crayons. On distribue 17 crayons. Combien de crayons restent dans la réserve ?
- Une réserve contient 6 boîtes de 8 crayons. On distribue 19 crayons. Combien de crayons restent dans la réserve ?
- Une réserve contient 5 boîtes de 15 crayons. On distribue 28 crayons. Combien de crayons restent dans la réserve ?
- Une réserve contient 3 boîtes de 24 crayons. On distribue 31 crayons. Combien de crayons restent dans la réserve ?
- Une réserve contient 7 boîtes de 9 crayons. On distribue 22 crayons. Combien de crayons restent dans la réserve ?
- Une réserve contient 8 boîtes de 6 crayons. On distribue 13 crayons. Combien de crayons restent dans la réserve ?
- Une salle accueille 36 personnes. Puis 18 personnes entrent et 11 personnes sortent. Combien de personnes sont dans la salle à la fin ?
- Une salle accueille 42 personnes. Puis 27 personnes entrent et 19 personnes sortent. Combien de personnes sont dans la salle à la fin ?
- Une salle accueille 58 personnes. Puis 16 personnes entrent et 23 personnes sortent. Combien de personnes sont dans la salle à la fin ?
- Une salle accueille 75 personnes. Puis 24 personnes entrent et 38 personnes sortent. Combien de personnes sont dans la salle à la fin ?
- Une salle accueille 29 personnes. Puis 31 personnes entrent et 17 personnes sortent. Combien de personnes sont dans la salle à la fin ?
- Une salle accueille 64 personnes. Puis 15 personnes entrent et 28 personnes sortent. Combien de personnes sont dans la salle à la fin ?
- On réunit 18 cartes bleues et 12 cartes vertes. On partage toutes les cartes également entre 5 groupes. Combien de cartes reçoit chaque groupe ?
- On réunit 24 cartes bleues et 18 cartes vertes. On partage toutes les cartes également entre 6 groupes. Combien de cartes reçoit chaque groupe ?
- On réunit 16 cartes bleues et 20 cartes vertes. On partage toutes les cartes également entre 4 groupes. Combien de cartes reçoit chaque groupe ?
- On réunit 27 cartes bleues et 18 cartes vertes. On partage toutes les cartes également entre 9 groupes. Combien de cartes reçoit chaque groupe ?
- On réunit 35 cartes bleues et 21 cartes vertes. On partage toutes les cartes également entre 7 groupes. Combien de cartes reçoit chaque groupe ?
- On réunit 32 cartes bleues et 16 cartes vertes. On partage toutes les cartes également entre 8 groupes. Combien de cartes reçoit chaque groupe ?
Corrigés individuellement expliqués
Correction pour l’adulte : exercices 1 à 6
-
crayons au départ : 4 × 12 = 48.
Réponse finale : 48 − 17 = 31 crayons.
Le premier calcul réunit les crayons de toutes les boîtes. On retire ensuite les crayons distribués du stock total. La réponse porte sur les crayons restants, pas sur les boîtes.
Vérification : 31 + 17 = 48 crayons.
-
crayons au départ : 6 × 8 = 48.
Réponse finale : 48 − 19 = 29 crayons.
Le premier calcul réunit les crayons de toutes les boîtes. On retire ensuite les crayons distribués du stock total. La réponse porte sur les crayons restants, pas sur les boîtes.
Vérification : 29 + 19 = 48 crayons.
-
crayons au départ : 5 × 15 = 75.
Réponse finale : 75 − 28 = 47 crayons.
Le premier calcul réunit les crayons de toutes les boîtes. On retire ensuite les crayons distribués du stock total. La réponse porte sur les crayons restants, pas sur les boîtes.
Vérification : 47 + 28 = 75 crayons.
-
crayons au départ : 3 × 24 = 72.
Réponse finale : 72 − 31 = 41 crayons.
Le premier calcul réunit les crayons de toutes les boîtes. On retire ensuite les crayons distribués du stock total. La réponse porte sur les crayons restants, pas sur les boîtes.
Vérification : 41 + 31 = 72 crayons.
-
crayons au départ : 7 × 9 = 63.
Réponse finale : 63 − 22 = 41 crayons.
Le premier calcul réunit les crayons de toutes les boîtes. On retire ensuite les crayons distribués du stock total. La réponse porte sur les crayons restants, pas sur les boîtes.
Vérification : 41 + 22 = 63 crayons.
-
crayons au départ : 8 × 6 = 48.
Réponse finale : 48 − 13 = 35 crayons.
Le premier calcul réunit les crayons de toutes les boîtes. On retire ensuite les crayons distribués du stock total. La réponse porte sur les crayons restants, pas sur les boîtes.
Vérification : 35 + 13 = 48 crayons.
Correction pour l’adulte : exercices 7 à 12
-
personnes après les entrées : 36 + 18 = 54.
Réponse finale : 54 − 11 = 43 personnes.
Les entrées augmentent le nombre de personnes présentes. Les sorties sont ensuite retirées de cette quantité. Le résultat intermédiaire ne décrit pas encore la salle à la fin.
Vérification de la dernière étape : 43 + 11 = 54 personnes.
-
personnes après les entrées : 42 + 27 = 69.
Réponse finale : 69 − 19 = 50 personnes.
Les entrées augmentent le nombre de personnes présentes. Les sorties sont ensuite retirées de cette quantité. Le résultat intermédiaire ne décrit pas encore la salle à la fin.
Vérification de la dernière étape : 50 + 19 = 69 personnes.
-
personnes après les entrées : 58 + 16 = 74.
Réponse finale : 74 − 23 = 51 personnes.
Les entrées augmentent le nombre de personnes présentes. Les sorties sont ensuite retirées de cette quantité. Le résultat intermédiaire ne décrit pas encore la salle à la fin.
Vérification de la dernière étape : 51 + 23 = 74 personnes.
-
personnes après les entrées : 75 + 24 = 99.
Réponse finale : 99 − 38 = 61 personnes.
Les entrées augmentent le nombre de personnes présentes. Les sorties sont ensuite retirées de cette quantité. Le résultat intermédiaire ne décrit pas encore la salle à la fin.
Vérification de la dernière étape : 61 + 38 = 99 personnes.
-
personnes après les entrées : 29 + 31 = 60.
Réponse finale : 60 − 17 = 43 personnes.
Les entrées augmentent le nombre de personnes présentes. Les sorties sont ensuite retirées de cette quantité. Le résultat intermédiaire ne décrit pas encore la salle à la fin.
Vérification de la dernière étape : 43 + 17 = 60 personnes.
-
personnes après les entrées : 64 + 15 = 79.
Réponse finale : 79 − 28 = 51 personnes.
Les entrées augmentent le nombre de personnes présentes. Les sorties sont ensuite retirées de cette quantité. Le résultat intermédiaire ne décrit pas encore la salle à la fin.
Vérification de la dernière étape : 51 + 28 = 79 personnes.
Correction pour l’adulte : exercices 13 à 18
-
cartes à partager : 18 + 12 = 30.
Réponse finale : 30 ÷ 5 = 6 cartes par groupe.
Les cartes des deux couleurs sont réunies avant le partage. Le total est réparti en groupes égaux. La réponse donne le nombre de cartes pour chaque groupe, pas le total.
Vérification : 6 × 5 = 30 cartes.
-
cartes à partager : 24 + 18 = 42.
Réponse finale : 42 ÷ 6 = 7 cartes par groupe.
Les cartes des deux couleurs sont réunies avant le partage. Le total est réparti en groupes égaux. La réponse donne le nombre de cartes pour chaque groupe, pas le total.
Vérification : 7 × 6 = 42 cartes.
-
cartes à partager : 16 + 20 = 36.
Réponse finale : 36 ÷ 4 = 9 cartes par groupe.
Les cartes des deux couleurs sont réunies avant le partage. Le total est réparti en groupes égaux. La réponse donne le nombre de cartes pour chaque groupe, pas le total.
Vérification : 9 × 4 = 36 cartes.
-
cartes à partager : 27 + 18 = 45.
Réponse finale : 45 ÷ 9 = 5 cartes par groupe.
Les cartes des deux couleurs sont réunies avant le partage. Le total est réparti en groupes égaux. La réponse donne le nombre de cartes pour chaque groupe, pas le total.
Vérification : 5 × 9 = 45 cartes.
-
cartes à partager : 35 + 21 = 56.
Réponse finale : 56 ÷ 7 = 8 cartes par groupe.
Les cartes des deux couleurs sont réunies avant le partage. Le total est réparti en groupes égaux. La réponse donne le nombre de cartes pour chaque groupe, pas le total.
Vérification : 8 × 7 = 56 cartes.
-
cartes à partager : 32 + 16 = 48.
Réponse finale : 48 ÷ 8 = 6 cartes par groupe.
Les cartes des deux couleurs sont réunies avant le partage. Le total est réparti en groupes égaux. La réponse donne le nombre de cartes pour chaque groupe, pas le total.
Vérification : 6 × 8 = 48 cartes.
Reprendre une erreur de quantité ou d’unité
Si un calcul donne un résultat inattendu, commence par retrouver ce que chaque nombre représente. Douze crayons par boîte ne sont pas douze crayons dans toute la réserve. Trente cartes à partager ne sont pas trente cartes par groupe. Une opération peut être calculée correctement alors que la quantité choisie ne répond pas à la question.
Pour une erreur de calcul, vérifie l’opération après avoir confirmé les quantités. Une opération inverse peut contrôler la dernière étape dans les situations de ce guide. Elle ne remplace pas la lecture du problème : il faut aussi vérifier que le résultat correspond bien à ce qui est demandé.
Pour l’adulte
Adapter la reprise au travail demandé
Tu peux reprendre un seul problème et expliquer les deux étapes plutôt que recommencer toute la banque. Une autre procédure valide est possible si les quantités sont conservées. Les indications et le vocabulaire de l’enseignant restent les repères pour un exercice scolaire.
Ce guide ne fixe pas de quota familial, de chronomètre ou de score de vitesse. Il sélectionne trois structures sur des nombres entiers ; il ne couvre pas tous les problèmes de CM2 ni tout le programme de mathématiques. Les réponses vérifiées ne constituent pas une validation pédagogique individuelle.
Repère documentaire
Ministère de l’Éducation nationale — programme de mathématiques du cycle 3, pages 11 et 12, rubrique CM2 sur la résolution de problèmes. Le programme décrit notamment des problèmes à plusieurs étapes et le travail de compréhension, de modélisation et de contrôle. Les quatre exemples et les dix-huit problèmes sont originaux ; la source ne valide pas leur efficacité.